L'algèbre : théorie des équations (partie 3)

Rappel :

Exemple : 2 X² + 10 X = 48 .
On sait que la solution est X=3 et donc X² = 9 .
On ramène les carrés en un seul , alors 2 X² + 10 X = 48 ⇔X² + 5 X = 24
On va vérifier la formule précédente X² = Y+(b²/2) -√(b² Y+(b²/2)²)  =24 + 25/2 -√(25.24+(25/2)²)Alors : X² =73/2 -55/2 = 18/2 = 9 . D'ou X= 3 . Et le résultat est bien vérifié .

 > Démonstrations : Algorithme de (a X² + Y=b X) <
Pour rechercher les solutions de cette équation , Abu kamil discute trois cas distincts :

Si Y<(b/2)² ; le problème admet deux solutions  

Si Y>(b/2)² ; le problème est impossible

Si Y=(b/2)² ; X= b/2

Mais avant de commencer ce travail , nous allons poser une question très importante  ,d'ou vient cette distinction de cas ? .

Pour simplifier on va prendre a=1, ( sinon on ramène l'équation de tel sorte que a soit égale à 1 )  .

Alors X² + Y = b X ⇔ X²- b X + Y = 0 ⇔ (X-b/2)² + Y -(b/2)² = 0 ,on a toujours (X-b/2)² >= 0 .

Donc si Y > (b/2)²  on aura Y - (b/2)² >0 et donc on aura obligatoirement (X-b/2)² + Y -(b/2)² >0 , et ce n'est pas le cas , donc si Y > (b/2)² le problème est impossible . 

Si Y<(b/2)²  on aura Y - (b/2)²<0 , par conséquent  (X-b/2)² + Y -(b/2)² peut être nulle , et donc l'équations admet des solutions (on va le prouver ).

Si  Y=(b/2)² on aura  Y -(b/2)²=0 , par conséquent (X-b/2)² = 0 , d'ou X = b/2.

Abu kamil dit : "Quant à la cause de « un carré plus vingt et un dirhams sont égaux à dix racines », le procédé qui te mène à la racine est : il se peut que le carré plus grand que les dirhams qui sont avec lui, ou plus petit qu'eux.  Et le carré ne sera pas égal aux dirhams qui sont avec lui, sauf si le produit
de la moitié des racines par elle-même est égal aux dirhams qui sont avec le carré. C’est alors que le carré sera égal aux dirhams qui sont avec lui. Nous allons montrer tout cela et l’expliquer, si Dieu le veut. "

1- Premier cas : Y>X²
"Posons les dirhams qui sont avec le carré, c’est-à-dire vingt et un dirhams, d’abord plus grands que le carré. Et posons le carré une surface carrée ABDC. Ajoutons à celui-ci le vingt et un qui est avec lui, soit la surface ABEL. Donc la surface ABEL est plus grande que la surface ABCD, car nous l’avons posée ainsi. Donc la droite BL est plus grande que la droite BD ; mais la surface ED est dix racines de la surface ABCD, donc la droite DL est dix. Mais la surface EB est le produit de LB par B A, et B A est égale à BD, donc le produit de LB par BD est la surface EB. Mais la surface EB est vingt et un, donc le produit de LB par BD est vingt et un. Partageons alors la droite LD en deux moitiés au point H. La droite LD a donc été partagée en deux moitiés au point H et en deux parties différentes au <point> B, donc le produit de LB par BD plus HB par elle-même est égal à HD par elle-même, d’après ce qu’a dit Euclide dans le livre deux de son ouvrage. Mais la droite HD par elle-même est vingt-cinq, car la droite HD est cinq, et la droite LB par BD c’est vingt et un ; il reste la droite HB par elle-même, quatre ; la droite HB est donc racine de quatre, ce qui est deux.
Pour bien comprendre le texte , on va utiliser une figure et quelques explications :
- On pose AB =X , alors S (ABCD) = X² .
- On pose Y = S ( ABLE ) .
Alors S (ABCD) + S ( ABLE ) = X² + Y = b X. Et on voit bien que DL = b.

- On pose H le milieu LD , et on applique donc la proposition 6 des éléments d'Euclide:

LB .BD + HB² = HD²

On a LB .BD  =S ( ABLE ) =Y .

Alors on a :LB .BD + HB² = HD² =Y +HB²= (b/2)².

C'est à dire que  HB= √((b/2)²-Y).Mais HB n'est rien d'autre que b/2-X .

Alors  b/2-X= √((b/2)²-Y) ⇔ X =b/2 -√((b/2)²-Y) .

Remarque : Dans ce cas on peut facilement voir que Y>X² ⇒Y<(b/2)² .

2- deuxième cas : Y<X² 

"Posons ensuite les dirhams qui sont avec le carré et qui sont vingt et un dirhams, plus petits que le carré. Posons le carré une surface carrée, soit la surface ABCD et ajoutons-lui le vingt et un qui est avec lui, soit la surface ABEF. Donc la surface AD est plus grande que la surface AF, car nous

l’avons posée ainsi, la droite DB est plus longue que la droite BF et la surface ED est dix racines de la surface AD ; donc la droite DF est dix et le produit de la droite FB par la droite BD est vingt et un. Partageons la droite FD en deux moitiés au <point> H ; la droite FD a donc été partagée en deux moitiés au point H et en deux parties différentes au point B. Donc le produit de FB par BD plus BH par elle-même est égal à HD par elle-même, d’après ce qu’a dit Euclide dans le deuxième livre de son ouvrage. Mais le produit de HD par elle-même est vingt-cinq et le produit de DB par BF

est vingt et un ; il reste le produit de BH par elle-même quatre, la droite p l e BH est donc la racine de quatre, c’est-à-dire deux. Nous l’ajoutons à la droite HD, qui est cinq ; on a donc la droite BD sept, ce qui est la racine du carré, et le carré est quarante neuf. On a donc montré que, si nous posons le carré plus petit que les dirhams qui sont avec lui, alors le problème est résolu par différence, et si nous le posons plus grand que les dirhams qui sont avec lui, il est résolu par somme.  "

-On pose AB =X , alors S (ABCD) = X² .ABCD est un carré .
-On pose Y = S ( ABEF ) .
Donc S(DCEF) = X²+Y = bX ; ainsi DF= b.

Y = AB . BF = BD .BF.
On pose H le milieu de FD alors on peut appliquer la proposition 6 des éléments d'Euclide :

FB.BD + BH² = HD² 

Donc Y+ HB² = (b/2)² ⇒ HB = X -b/2 = √((b/2)² - Y) ⇒ X= √((b/2)² - Y)+ b/2.

Remarque : Dans ce cas on peut facilement voir que Y<X² ⇒Y<(b/2)² .

CONCLUSION :

 Les deux cas Y>X² et Y<X²  se ramène à une seul cas Y<(b/2)² .Il y a donc deux solutions :

1-X =b/2 -√((b/2)²-Y) 

2-X =b/2+√((b/2)²-Y)

Et l'algorithme sera donc comme suit : 

1- calculer b/2 et multiplier par lui même ; 2- soustraire Y i-e  ((b/2)² - Y ) ; 3- calculer

 r = √((b/2)² - Y) , 4- il y a deux solutions : x1 = b/2 -r et x2= b/2 +r .

Le cas qui reste peut être traiter de la même manière .

Écrit à berkane le mercredi 14 septembre 2016 ." sioudi mohammed "

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L'algèbre : théorie des équations (partie 2)

Rappel:

On va appliquer la formule d'Euclide sur  EC (figure 2)  → BC . EC + HB² = HC²
mais BC . EC = Y , donc Y + (b/2)² = (X+b/2)²
Par conséquent  X+b/2 = √((b/2)²+Y)  → X = √((b/2)²+Y) - (b/2), D'ou le résultat .

 > Démonstrations : Algorithme de (a X² + b X=Y) <

Démonstration 2 :

L'idée générale de cette démonstration est : Au lieu de chercher X la racine , On va chercher X² le carré  , 

le texte d'Abu kamil :" Si tu veux que je te montre d’une manière évidente ce que j ’ai dit(autre démonstration)  ...

Quant à la cause du procédé qui te mène au carré, alors nous posons le carré la droite AB, nous lui ajoutons dix racines, qui est la droite BC. Donc la droite AC est trente-neuf. Nous voulons savoir quelle est la grandeur de la droite AB. Construisons sur la droite BC une surface carrée, soit la surface DEBC, qui est cent fois égale à la droite AB multipliée par une des unités qui sont dans la droite AB, car la droite BC est dix racines de <la droite>AB ; mais dix racines d’une chose multipliées par elles mêmes, cela est égal à cent fois une chose. Posons la surface AH égale au carré BE. Donc AH est égale à la droite  AB multipliée par une des unités de la droite AB, cent fois. Donc la droite AM est cent. Achevons la surface AN, donc la surface AN est trois mille neuf cents car la droite AC est trente-neuf et AM est cent. Mais la surface AH est égale à la surface BE, donc la surface DN est trois mille neuf cents, et elle est le produit de NE par EC, car la droite EC est égale à la droite ED. Mais la droite CN est cent, car elle est égale à la droite AM. Nous partageons la droite CN en deux moitiés au <point> L donc la droite CN a été partagée en deux moitiés au point L, et on a ajouté à sa longueur la droite CE ; donc le produit de la droite NE par la droite EC plus la droite CL par elle-même sont égaux à la droite LE par elle-même, comme l’a dit Euclide dans le second livre de son ouvrage. Mais le produit de la droite NE par la droite EC est trois mille neuf cents, et le produit de la droite CL par elle-même est deux mille cinq cents ; nous les additionnons, on a six mille quatre cents, qui est égal au produit de la droite LE par elle-même ; donc le produit de LE par elle-même est six mille quatre cents. La droite LE est donc quatre-vingts ; mais la droite CE est égale à la droite BC, donc la droite LC plus la droite BC est quatre-vingts ; si nous ôtons les deux droites LC et BC, ce qui est quatre-vingts, des deux droites AC et CL, ce qui est quatre-vingt-neuf, il reste la droite AB, qui est le carré ,neuf. Ce qu’il fallait démontrer."

Pour mieux comprendre la démonstration ,On va analyser la figure suivante :

On pose AB = X² et BC = b X. Alors S ( BCED ) = b²X² . C'est à dire AC = X² + bX =Y . 

On pose AM = b² , alors S ( ABHM ) = b² X² . Soit L le milieu CN : on peut appliquer proposition  6 des éléments d'Euclide , NE . EC + CL² = LE² .

Or NE = b² + b X et EC= b X , alors NE . EC = (b² + b X) . (b X)

Donc NE . EC = b² .b X + b²X² = b²( b X +X² ) = b² Y .

Aussi CL² = (b²/2)² .et donc  LE²=NE . EC + CL²=b² Y+(b²/2)² Par suite : LE = √(b² Y+(b²/2)²).

On a AB= (AC + LC) - (CB + LC) = ( AC+LC) - LE  = Y+(b²/2) - √(b² Y+(b²/2)²).                                                   

Finalement AB =Y+(b²/2) - √(b² Y+(b²/2)²) = X² .  D'ou le résultat .

Par conséquent Abu kamil donne un algorithme pour obtenir le carré suivant six étapes :

1- multiplie b par lui même . 2- multiplie le résultat par Y ( b² Y ).  3-multiplie b²/2 par lui même et ajoute le à b² Y .  4- on note r la racine du résultat de l'étape précédente . 5- ajouter b/2 à Y puis soustraire le  r . c'est le carré X² . i-e  X² = Y+(b²/2) - √(b² Y+(b²/2)²)

Exemple 1: X² + 10 X= 39.

D'après  : L'algèbre : le début (partie 3) , On sait que la solution est X=3 et donc X² = 9 .

On va vérifier la formule précédente  X² = Y+(b²/2) - √(b² Y+(b²/2)²) = 39 + 50 - √(10² . 39 +50²)

Alors : X² = 89 -√(6400) = 89-80 = 9 . D'ou X=3 .  Et le résultat est bien vérifié . 

Exemple 2: 2 X² + 10 X = 48 .

D'après  : L'algèbre : le début (partie 3) , On sait que la solution est X=3 et donc X² = 9 .

On ramène les carrés en un seul , alors 2 X² + 10 X = 48 ⇔X² + 5 X = 24

On va vérifier la formule précédente X² = Y+(b²/2) -√(b² Y+(b²/2)²) = 24 + 25/2 -√(25.24+(25/2)²)

Alors : X² =73/2 -55/2 = 18/2 = 9 . D'ou X= 3 . Et le résultat est bien vérifié .

Dans l'article suivant on va aborder les deux autres types d'équations et les démonstrations proposés par Abu kamil , avec des exemples et des explication en traitant tous les cas possibles .

Écrit à berkane  le mardi 6 septembre 2016 . "sioudi mohammed"

  

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L'algèbre : théorie des équations (partie 1)

Introduction : 

En 830 ,Al-khawarizmi fait paraitre une nouvelle discipline dans les mathématiques, c'est l'algèbre ,qui est un langage abstrait dans lequel sont traduits les notions de la géométrie et arithmétique , mais celle-ci ne confond ni avec l'arithmétique ni avec la géométrie.  

Certains procédés dans le livre d' Al-khawarizmi ( al-jabr wa al-muqabala)  sont laissées sans démonstration ,plusieurs des proches successeurs d' Al-khawarizmi ont commencé des essais pour développer cette nouvelle discipline(algèbre) en se basant sur les inventions de son  fondateur .

Abu kamil est l'un de ces successeurs et qui est le plus contribué à cette tache , il a écrit un livre nommé (al-kamil fi al-jabr wa al muqabala ) , dans lequel  il démontre de plusieurs façons les procédés d' Al-khawarizmi , mais aussi il parle de quelque calculs algébriques et applications d'algèbre dans le domaine  de géométrie .   

> Démonstrations : Algorithme de (a X² + b X=Y) <

ATTENTION :Y N'EST PAS UNE VARIABLE , Y EST UNE CONSTANTE (NOMBRE)

L'algorithme d' Al-khawarizmi pour ce genre d'équations est le suivant :

Si a=1;( sinon en ramène l'équation de sorte que a soit égale à 1)

 Pour résoudre  X² + b X = C : Algorithme :

 1: la moitié de nombres des racines c'est à dire b/2 .( = 5 dans l'exemple )
2:la multiplication b/2 * b/2 .( = 25 dans l'exemple)
3:l'addition (b/2)²+C .(= 64 dans l'exemple )
4:la racine du résultat  on la note r .( racine de 64 = 8 dans l'exemple )
5:la soustraction: b/2 de r . ( 8-5=3 dans l'exemple ) . Alors X=r-b/2 (=3 dans l'exemple) . 

 c'est à dire : (b/2)→(b/2)²→(b/2)²+C   →√((b/2)²+C) - (b/2) = X.  X qui est la racine cherché .

Démonstration 1 : cette démonstration se base sur les éléments d'Euclide.

Abu kamil dit :"« un carré plus dix racines égaux à trente-neuf »,

 Le procédé qui te mène à la racine est : nous posons le carré une surface carrée ABCD à quoi nous ajoutons les racines qui sont avec lui et qui sont dix racines ; soit la surface ABFE. Il est clair que la droite BE est dix en nombre car le côté de la surface ABCD, qui est la droite AB multipliée par un, est la racine de la surface ABCD ; elle est donc multipliée par dix et on a dix racines de la surface ABCD. La droite BE est par conséquent dix ; et la surface FECD est trente-neuf car elle est un carré plus dix racines ; on l’obtient de la multiplication de la droite EC par la droite CD ; mais la droite CD est égale à la droite CB.

Donc le produit de la droite EC par la droite CB est trente-neuf. Et la droite EB est dix. Nous partageons la droite EB en deux moitiés au point H, donc la droite EB a été partagée en deux moitiés au point H et on a ajouté à sa longueur la droite BC. Donc le produit de la droite EC par la droite CB et HB par elle-même sont égaux au produit de la droite HC par elle-même, d’après ce qu’a dit Euclide dans le deuxième livre de son ouvrage. Mais le produit de la droite EC par la droite CB est trente-neuf, et le produit de la droite HB par elle-même est vingt-cinq. Donc le produit de la droite HC par elle-même est soixante quatre. La droite HC est donc huit.  Mais la droite HB est cinq. Donc la droite BC qui reste est trois, ce qui est la racine du carré, et le carré est neuf."

Pour démontrer la solution de  X² + b X = Y
avec la démonstration d'Abu kamil .
On va analyser les deux figures suivantes :

ATTENTION :Y N'EST PAS UNE VARIABLE , Y EST UNE CONSTANTE (NOMBRE)

Figure 2 :  M est  le milieu de AB , C est le prolongement de AB .D'après livre 2 des éléments d'Euclide : proposition 6, on a la formule suivante : BC . AC + AM² = MC²  .
Figure 1 :   On voit dans la figure que :
- On pose AB = X  , S ( ABCD ) = X² .
- H est le milieu de EB , on pose BE=b .
Alors S ( EFCD ) = X²+bX =Y , mais aussi S ( EFCD ) =EC . CD = EC . BC =Y

On va appliquer la formule d'Euclide sur  EC (figure 2)  → BC . EC + HB² = HC²
mais BC . EC = Y , donc Y + (b/2)² = (X+b/2)²
Par conséquent  X+b/2 = √((b/2)²+Y)  → X = √((b/2)²+Y) - (b/2), D'ou le résultat .

Il y'à une autre démonstration pour ce genre d'équations , et ça sera l'objet du deuxième partie de cette suite d'articles concernant la théorie des équations .

Ecrit à berkane le  vendredi 2 septembre 2016. " sioudi mohammed "

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L'algèbre : le début (partie 5)

Rappel:

Pour l'équation   X² + C = b X , Alors En général , on a (X-b/2)² = (b/2)² -C ,
Si (b/2)² > C : il y a deux solutions positives de l'équation . X=b/2 + ou - √((b/2)² - C).
Si (b/2)²= C : il y a une solution X= b/2 .
Si (b/2)²<C : le problème est impossible .

> Exemple des causes ( géométrie) <

La cause de ( un carré + dix racines = trente neuf ): "soit la surface AB , qui est le carré .Nous cherchons à l'ajouter dix de ces racines , nous partageons dix en deux moitiés , on a cinq , donc nous faisons deux surfaces de part et d'autre part de la surface AB ; soit les deux surfaces C et N , la longueur de chaque surface sera cinq coudés , qui la moitié de dix racines , et sa largeur est égale au coté de la surface AB  . Il nous reste un carré à partir des angles de la surface AB , qui est cinq par cinq ...Nous savons donc que la première surface est le carré ,que les deux surfaces qui sont de part et d'autre part  celle si  sont dix racines ,que tout cela est donc trente neuf et qu'il reste pour compléter le grand carré la surface de cinq par cinq ,ceci est vingt cinq ,que nous ajoutons a trente neuf pour compléter la plus grande  surface , on obtient de tout ça soixante quatre ,nous prenons sa racine qui est huit ,et qui l'un des cotés de la plus grande surface ,si en retranchons une quantité égale à ce qu'on a ajouté , qui est cinq , il reste trois qui est la surface de la coté de la surface AB , qui est le carré ,et qui est sa racine et le carré égale à neuf ."

Pour mieux comprendre cette paragraphe , nous allons changé un petit peu les notations donné dans le texte , mais en appliquons les mêmes étapes .mais surtout avec le schéma si dessous .

* l'équation : X² + 10 X =39 .

Figure 1 : on a trois surfaces , la surface A , la surface B , qui est égale à la surface C , on voit que la somme des trois surfaces est : A+B+C = X² + 5 X +5 X = X² + 10 X =39 .
Figure 2 : on à compléter la figure 1 pour avoir un grand carré de coté (X+5) ; cette surface est complété par une surface D de coté 5 , D =25 .
Conclusion : la surface du grand carré est 25+39 (= A+B+C+D) , donc S= 64 =(X+5)². Alors X+5 =8.
Par conséquent X= 8-5 = 3.

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Finalement , on peut résumer ces cinq articles par trois notes essentiels :

1- aljabr : Al-Khawārizmi a utilisé ce terme pour ajouter aux deux membres d’une équation le même terme afin de n’avoir que des termes à ajouter, voire que des quantités entières.

 Par exemple : 4 X² − 5 X + 1 = X² + 1 2 X 

4 X² − 5 X + 1 + 5 X = X² + 1 2 X + 5 X

4 X² + 1 = X² + 17 X

8 X² + 2 = 2 X² + 34 X  

2-al muqabala : Al-Khawārizmi a utilisé ce terme tout simplement pour regrouper les quantités de même espèce. Poursuivons l’exemple précédent :

 8 X² + 2 = 2 X² + 34 X

8 X² + 2 − 2 X² = 2 X² + 34 X − 2 X² 

6 X² + 2 = 34 X

3-les équations canoniques :
les carrés égaux aux racines veut dire : a.X² = b.X .( équation 1)
les carrés égaux a un nombre veut dire : a.X² = C.(équation 2)
les racines égales à un nombre veut dire :  b.X = C.(équation 3 )

des carrés +des racines = un nombre , c'est à dire  a.X² + b.X = C .( équation 4 )

des carrés +un nombre = des racines , c'est à dire  a.X² + C = b.X.( équation 5 )
des racines +un nombre = des carrés , c'est à dire  b.X + C = a.X² .( équation 6 ).

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Remarque : Jusqu'à ici on peut dire que les bases de cette nouvelle discipline dans les mathématiques sont mentionnées .

Dans ce chapitre ( 5 articles ) j'ai utilisé souvent la traduction de Dr R.Rashed  : Al-Khawārizmi livre d'algèbre .

Écrit à berkane le  mercredi 31 aout 2016 . " sioudi mohammed "

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L'algèbre : le début (partie 4)

Rappel:

Pour résoudre  X² + b X = C : Algorithme :
 1: la moitié de nombres des racines c'est à dire b/2 .( = 5 dans l'exemple )
2:la multiplication b/2 * b/2 .( = 25 dans l'exemple)
3:l'addition (b/2)²+C .(= 64 dans l'exemple )
4:la racine du résultat  on la note r .( racine de 64 = 8 dans l'exemple )
5:la soustraction: b/2 de r . ( 8-5=3 dans l'exemple ) . Alors X=r-b/2 (=3 dans l'exemple) . 

 > Les équations combinées(suite) <
B-les racines plus un nombre = des carrés :"c'est par exemple lorsque tu dis : trois racines et quatre en nombre égaux à un carré .
procédé : partage le nombre des racines en deux moitiés ,on a un plus un demi ; multiplie le par lui même , on a deux plus un quart ; ajout le à quatre , donc on six plus un quart ; prend sa racine qui est deux plus un demi , ajoute la à la moitié du nombre de racines , qui est un plus un demi , on a quatre , qui est la racine du carré , et le carré est seize ."

Si on peut clarifier un peu le procédé , on a :  b X + C = X² 

Algorithme:
 1: la moitié de nombres des racines c'est à dire b/2 .( = 3/2 dans l'exemple )
2:la multiplication b/2 * b/2 .( = 9/4 dans l'exemple)
3:l'addition (b/2)²+C .(= 25/4 dans l'exemple )
4:la racine du résultat  on la note r .( racine de 25/4 = 5/2 dans l'exemple )
5:l'addition r+b/2 .( = 5/2 +3/2 =4 dans l'exemple ) . Alors X=r+b/2 (=4 dans l'exemple)

Une démonstration très facile est de remarquer que : (X-b/2)² = X²-b X +(b/2)² =C+(b/2)²
Alors X-b/2 = = √(C +(b/2)²)  ⇒ X = √(C +(b/2)²) + b/2 .
Remarque :1- Il faut toujours remarquer que Al-khawarizmi ne considère que la racine positive .
2- de même pour le premier cas si les carrés sont nombreux , il suffit de les ramener en un seul .

C-les carrés plus un nombre =des racines : "c'est par exemple lorsque tu dis :un carré et vingt et un sont égaux a dix racines , c'est à dire si tu ajoutes à un carré quelconque à vingt et un , ce que tu obtient sera égale à dix racines .
procédé :partage le nombre des racines en deux moitiés ,on aura cinq ,multiplie le par lui même,on aura vingt cinq ,dont tu retranche vingt et un , ce qu'on a dit être  avec le carré , il reste quatre ,prend sa racine qui est deux ,retranche la de la moitié de nombre des racines , on aura trois ,qui est la racine de carré que tu veux , et le carré est neuf .
si tu veux ajoute la racine a la moitié de nombre des racines , on aura sept qui est la racine du carré cherché , et le carré est quarante neuf .
si tu rencontre un problème , qui te mène à cette sorte , vérifier son exactitude , soit en ajoutant , sinon en retranchant nécessairement ..."

Si on peut clarifier un peu le procédé , on a :  X² + C = b X  Pour l'exemple donné ici X² + 21 = 10 X , il y a deux façons :
1-(X-5)² = X² - 10X +25 = X² - ( X² +21) +25 = 4    ⇒ X -5 = 2
   ⇒ X = 7 .
2-(5-X)² = 25 - 10 X +X² =25-(X²+21) +X² = 4   ⇒ 5- X = 2
 ⇒ X = 3 .
Alors il y a deux solutions positives , Al-khawarizmi les calcule toutes les deux , ensuite il discute le cas général de cette situation en donnant d'autres exemples .
En général , on a (X-b/2)² = (b/2)² -C ,
Si (b/2)² > C : il y a deux solutions positives de l'équation . X=b/2 + ou - √((b/2)² - C).
Si (b/2)²= C : il y a une solution X= b/2 .
Si (b/2)²<C : le problème est impossible .

Remarque :

Se sont les six modes d'équations que Al-khawarizmi les a mentionnées , la donné de ces procédés n'est pas au hasard ,   Al-khawarizmi va par suite déterminer comment a pu trouver ces procédés , et c'est ça l'intérêt de l'article suivant .

Écrit à berkane le samedi 27 aout 2016 . " sioudi mohammed" 

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L'algèbre : le début (partie 3)

Rappel:

les carrés égaux aux racines veut dire : a.X² = b.X .( équation 1)

les carrés égaux a un nombre veut dire : a.X² = C.(équation 2)

les racines égales à un nombre veut dire :  b.X = C.(équation 3 )

 > Les équations combinées <

A partir des trois équations précédentes Al-khawarizmi donne des combinaisons  plus compliquées , et plus importantes .Dans son livre d'algèbre Al-khawarizmi dit :"J'ai trouvé que ces trois modes se combinent ,et on aura les trois genres combinés , qui sont : les carrés plus ( addition) les racines sont égaux à un nombre ,des carrés plus un nombre égaux à des racines , des racines plus un nombre égales à des carrés ."

Pour mieux comprendre , et avec les notations précédentes on obtient :

1 - des carrés +des racines = un nombre , c'est à dire  a.X² + b.X = C .( équation 4 )

2 - des carrés +un nombre = des racines , c'est à dire  a.X² + C = b.X.( équation 5 )

3 - des racines +un nombre = des carrés , c'est à dire  b.X + C = a.X² .( équation 6 )

Dans cette partie le premier cas sera traité avec beaucoup de détail , et il faut dire aussi que Al-khawarizmi a traité ces trois cas avec des exemples et des procédés , mais ces procédés ne seront démontrés sérieusement que avec Thabit Ibn Qurrah ultérieurement .

A-les carrés plus des racines = un nombre: "c'est par exemples lorsque tu dis : un carré plus dix racines sont égaux à trente neuf , c'est a dire que si on ajoute à un carré dix racines le tout sera égale a trente neuf . 

procédé : partage en deux moitiés le nombre des racines , il vient donc cinq dans ce problème , que tu multiplie  par lui même on a vingt cinq , tu l'ajoute a trente neuf , an aura soixante quatre , tu prend la racine qui est huit , tu soustrais la moitié de nombre des racine qui est cinq .Il reste trois qui es la racine du carré que tu veux , et le carré donc c'est neuf."

Si on peut clarifier un peu le procédé , on a : X² + b X = C

Algorithme: 1: la moitié de nombres des racines c'est a dire b/2 .( = 5 dans l'exemple )

2:la multiplication b/2 * b/2 .( = 25 dans l'exemple)

3:l'addition (b/2)²+C .(= 64 dans l'exemple )

4:la racine du résultat  on la note r .( racine de 64 = 8 dans l'exemple )

5:la soustraction: b/2 de r . ( 8-5=3 dans l'exemple ) . Alors X=r-b/2 (=3 dans l'exemple) 

Une démonstration très facile , c'est de remarquer que (X+b/2)² = X² + b X + (b/2)² = C +(b/2)² , et donc X+b/2 = √(C +(b/2)²)  ⇒ X = √(C +(b/2)²) - b/2 .

Remarque : Il faut toujours remarquer que Al-khawarizmi ne considère que la racine positive .

Si les carrés sont nombreux dans l'équation , voilà ce que Al-khawarizmi dit : " de même , si on considère , deux carré ou trois ou plus ,ou moins , ramène les on un seul ..."   

voilà l'exemple :2 X² + 10 X = 48; 

2 X² + 10 X = 48  ⇒ X² + 5 X = 24  .

(X+5/2)²= X² + 5 X + 25/4 = 24+25/4 =121/4 .⇒ X+5/2 = √121/4 = 11/2 ⇒ X =11/2 - 5/2 = 3 .

Al-khawarizmi finit cette paragraphe on disant : "procède de même en tout ce qui se présente , des carrés , des racines et du nombre qui leur est égale , tu tomberas juste , si dieu le veut ."  

Il reste encore deux autres types d'équations a traiter dans l'article suivant , avant d'avancer sur le chemin des interprétations géométriques qui ont conduit Al-khawarizmi à ces résultats .

Écrit a berkane le jeudi 25 aout 2016. "sioudi mohammed "

     

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L'algèbre : le début (partie 2)

Rappel:

Pour bien comprendre ces termes puisqu'il sont la base de l'algèbre d'Al-khawarizmi , nous pouvons dire que selon le représentation actuelle :

• al-mal (carré) correspond à X².

• al-jidhr (racine) correspond à X.

• al-adad (nombre) correspond à la classe de nos nombres entiers positifs .

 > Les équations simples <
En envisageant toutes les possibilités de combiner ces termes par addition , de façon à écrire des égalités ,Al-khawarizmi obtient des phrases :"Parmi ces trois modes ,certains sont égaux aux autres ,par exemple lorsqu'on dit :des carrés sont égaux à des racines et des carrés sont égaux à un nombre et des racines sont égales à un nombre."
c'est donc les trois possibilités simples d'après Al-khawarizmi , et dans son livre il traite les trois cas avec des exemples , que l'on va bien expliquer .

A- les carrés sont égaux à des racines:"c'est par exemple lorsque tu dis :un carré est égale a cinq racines , la racine du carré est donc cinq et le carré est vingt cinq ; et lorsque tu dis : un tiers du carré est égale à quatre racines ,le carré est donc égale à douze racine , le carré est égale a cent quarante quatre et le racine c'est douze , et par exemple lorsque tu dis :cinq carré sont égaux dix racines , un seul carré est égale a deux racines , la racine est deux et son carré est quatre .De même pour les carrés , qu'ils sont nombreux ou moindre de l'unité , on les ramène  a un seul carré " .

Pour bien comprendre ce premier cas , On pose X la racine et X² donc le carré :
Les carrés sont :a.X²
Les racines sont :b.X
Et donc les carrés égaux aux racines veut dire : a.X² = b.X .( équation 1)
Al-khawarizmi a traité les trois exemples dans son texte , avec le représentation actuelle :
1- X² = 5 X  ⇒ X = 5 ⇒ X² = 25.
2-1/3 X² = 4 X   ⇒ X² = 12 X ⇒ X = 12 ⇒ X² = 144.
3- 5 X² = 10 X ⇒ X² = 2 X ⇒ X = 2 ⇒ X² = 4 .

En général l'algorithme de Al-khawarizmi pour ce genre d'équations est : a.X² = b.X  ⇒ X² = b/a X
⇒ X = (b/a) ⇒ X² = (b/a)².
Remarque : le nombre zéro n'est pas considérer comme solutions des équations .

B-les carrés égaux à un nombre :" c'est par exemple lorsque tu dis : un carré égale à neuf , c'est le carré et sa racine est trois , et lorsque  tu dis : cinq carrés sont égaux à quatre vingt , un seul carré est égale à seize , c'est à dire la racine est quatre ..."

En gardant les mêmes notations , on voit que les carrés égaux a un nombre veut dire : a.X² = C.(équation 2)
Les exemples sont :
1- X² = 9  ⇒ X = 3.
2- 5 X² = 80 ⇒ X² = 16 ⇒ X = 4.
En général a.X² = C ⇒  X² = C/a   ⇒ X =  √C/a .

C-les racines égales à un nombre :"c'est par exemple lorsque tu dis : une racine est égale a trois et le carré formée par elle sera neuf , et lorsque tu dis quatre racines sont égales à vingt ; une seul racine est donc égale à cinq et le carré formée d'elle est vingt cinq ..."

Avec les mêmes notation , les racines égales à un nombre veut dire :  b.X = C. (équation 3 )
Les exemples donnés sont :
1-X = 3 ⇒ X² = 9 .
2-4 X = 20 ⇒ X = 5 ⇒  X² = 25 .
En général :  b.X = C ⇒ X = C/b ⇒ X = (C/b)² .

Al-khawarizmi va ensuite combiner ces trois équations  en cherchant des équations plus compliquées et plus importantes , ça sera donc l'objet de la troisième  partie de cette suite .

Écrit à berkane le lundi 22 aout 2016 ."sioudi mohammed "

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L'algèbre : le début (partie 1)

Introduction : 

L'objectif de cette suite d'articles est de traiter d'une manière très simplifié le commencement de L'algèbre de Al-khawarizmi et les améliorations apportées dans les années suivantes.

L'algèbre ,tel que l'élabore Al-khawarizmi , apparait comme un langage abstrait dans lequel sont traduits les notions de la géométrie et arithmétique ,en d'autre terme l'algèbre est un pont interprétatif sur lequel se rencontrent  la géométrie et l'arithmétique ,et s'expriment dans une langue commune.

>Les termes de base d'Al-khawarizmi (780 - 850)<

On va commencer par un extrait du livre d'Al-khawarizmi ( kitab al-jabr wa al muqabala / en 830 ) :" Quand j'ai examiné se dont les gens ont besoin en calcul ,j'ai trouvé que tout cela se ramène au nombre et j'ai trouvé que tous les nombres sont composées a partir de l'unité ,et que l'unité et que l'unité est incluse dans tout les nombres. J'ai trouvé que tous les nombres que l'on exprime sont ceux qui surpassent l'unité jusqu'à dix. Ainsi, on double et on triple l'unité et on forme a partir d'elle ,l'unité ,le deux, le trois, jusqu'à dix complet ,le dix tient lieu de l'unité, ensuite on le double et on le triple , comme on l'a fait pour l'unité ,et on forme le vingt et le trente ...jusqu'à cent complet .On double ensuite le cent et on le triple comme on l'a fait pour l'unité et pour le dix , jusqu'à le mile .De même on répète ..."

Alors après avoir décrit les nombres et cette construction Al-khawarizmi donne trois termes de base pour son algèbre :"J'ai trouvé les nombres dont on a besoin dans le calcul d'algèbre selon trois modes qui sont :les racines , les carrés, et le nombre simple , qui ni'est rapporté ni à une racine ni à une carré."
Il faut noter ici que Al-khawarizmi appel ces trois termes par :

• al-mal=le carré .
• al-jidhr=le racine .
• al-adad=le nombre .   

Ensuite ,il nous donne la définition exacte de chaque terme:"la racine ,est toute chose multipliée par elle même, à partir de l'unité ,les nombres qui sont au dessus d'elle , et les fractions qui sont au dessous d'elle.

le carré est ce qu'on obtient lorsqu'on multiplie le racine par elle même .  

le nombre simple est un nombre q'u on exprime sans qu'il soit rapporté ni à une racine ni à une carré."

Pour bien comprendre ces termes puisqu'il sont la base de l'algèbre d'Al-khawarizmi , nous pouvons dire que selon le représentation actuelle : 

• al-mal (carré) correspond à  X².
• al-jidhr (racine) correspond à X.
• al-adad (nombre) correspond à la classe de nos nombres entiers positifs .

Dans l'article suivant ,on va voir comment Al-khawarizmi et en utilisant des combinaisons de ces trois termes a pu imposer les équations simples .

Écrit a berkane  le jeudi 18 aout 2016. "sioudi mohammed"

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