L'algèbre : le début (partie 5)

Rappel:

Pour l'équation   X² + C = b X , Alors En général , on a (X-b/2)² = (b/2)² -C ,
Si (b/2)² > C : il y a deux solutions positives de l'équation . X=b/2 + ou - √((b/2)² - C).
Si (b/2)²= C : il y a une solution X= b/2 .
Si (b/2)²<C : le problème est impossible .

> Exemple des causes ( géométrie) <

La cause de ( un carré + dix racines = trente neuf ): "soit la surface AB , qui est le carré .Nous cherchons à l'ajouter dix de ces racines , nous partageons dix en deux moitiés , on a cinq , donc nous faisons deux surfaces de part et d'autre part de la surface AB ; soit les deux surfaces C et N , la longueur de chaque surface sera cinq coudés , qui la moitié de dix racines , et sa largeur est égale au coté de la surface AB  . Il nous reste un carré à partir des angles de la surface AB , qui est cinq par cinq ...Nous savons donc que la première surface est le carré ,que les deux surfaces qui sont de part et d'autre part  celle si  sont dix racines ,que tout cela est donc trente neuf et qu'il reste pour compléter le grand carré la surface de cinq par cinq ,ceci est vingt cinq ,que nous ajoutons a trente neuf pour compléter la plus grande  surface , on obtient de tout ça soixante quatre ,nous prenons sa racine qui est huit ,et qui l'un des cotés de la plus grande surface ,si en retranchons une quantité égale à ce qu'on a ajouté , qui est cinq , il reste trois qui est la surface de la coté de la surface AB , qui est le carré ,et qui est sa racine et le carré égale à neuf ."

Pour mieux comprendre cette paragraphe , nous allons changé un petit peu les notations donné dans le texte , mais en appliquons les mêmes étapes .mais surtout avec le schéma si dessous .

* l'équation : X² + 10 X =39 .

Figure 1 : on a trois surfaces , la surface A , la surface B , qui est égale à la surface C , on voit que la somme des trois surfaces est : A+B+C = X² + 5 X +5 X = X² + 10 X =39 .
Figure 2 : on à compléter la figure 1 pour avoir un grand carré de coté (X+5) ; cette surface est complété par une surface D de coté 5 , D =25 .
Conclusion : la surface du grand carré est 25+39 (= A+B+C+D) , donc S= 64 =(X+5)². Alors X+5 =8.
Par conséquent X= 8-5 = 3.

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Finalement , on peut résumer ces cinq articles par trois notes essentiels :

1- aljabr : Al-Khawārizmi a utilisé ce terme pour ajouter aux deux membres d’une équation le même terme afin de n’avoir que des termes à ajouter, voire que des quantités entières.

 Par exemple : 4 X² − 5 X + 1 = X² + 1 2 X 

4 X² − 5 X + 1 + 5 X = X² + 1 2 X + 5 X

4 X² + 1 = X² + 17 X

8 X² + 2 = 2 X² + 34 X  

2-al muqabala : Al-Khawārizmi a utilisé ce terme tout simplement pour regrouper les quantités de même espèce. Poursuivons l’exemple précédent :

 8 X² + 2 = 2 X² + 34 X

8 X² + 2 − 2 X² = 2 X² + 34 X − 2 X² 

6 X² + 2 = 34 X

3-les équations canoniques :
les carrés égaux aux racines veut dire : a.X² = b.X .( équation 1)
les carrés égaux a un nombre veut dire : a.X² = C.(équation 2)
les racines égales à un nombre veut dire :  b.X = C.(équation 3 )

des carrés +des racines = un nombre , c'est à dire  a.X² + b.X = C .( équation 4 )

des carrés +un nombre = des racines , c'est à dire  a.X² + C = b.X.( équation 5 )
des racines +un nombre = des carrés , c'est à dire  b.X + C = a.X² .( équation 6 ).

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Remarque : Jusqu'à ici on peut dire que les bases de cette nouvelle discipline dans les mathématiques sont mentionnées .

Dans ce chapitre ( 5 articles ) j'ai utilisé souvent la traduction de Dr R.Rashed  : Al-Khawārizmi livre d'algèbre .

Écrit à berkane le  mercredi 31 aout 2016 . " sioudi mohammed "