L'algèbre : le début (partie 2)

Rappel:

Pour bien comprendre ces termes puisqu'il sont la base de l'algèbre d'Al-khawarizmi , nous pouvons dire que selon le représentation actuelle :

• al-mal (carré) correspond à X².

• al-jidhr (racine) correspond à X.

• al-adad (nombre) correspond à la classe de nos nombres entiers positifs .

 > Les équations simples <
En envisageant toutes les possibilités de combiner ces termes par addition , de façon à écrire des égalités ,Al-khawarizmi obtient des phrases :"Parmi ces trois modes ,certains sont égaux aux autres ,par exemple lorsqu'on dit :des carrés sont égaux à des racines et des carrés sont égaux à un nombre et des racines sont égales à un nombre."
c'est donc les trois possibilités simples d'après Al-khawarizmi , et dans son livre il traite les trois cas avec des exemples , que l'on va bien expliquer .

A- les carrés sont égaux à des racines:"c'est par exemple lorsque tu dis :un carré est égale a cinq racines , la racine du carré est donc cinq et le carré est vingt cinq ; et lorsque tu dis : un tiers du carré est égale à quatre racines ,le carré est donc égale à douze racine , le carré est égale a cent quarante quatre et le racine c'est douze , et par exemple lorsque tu dis :cinq carré sont égaux dix racines , un seul carré est égale a deux racines , la racine est deux et son carré est quatre .De même pour les carrés , qu'ils sont nombreux ou moindre de l'unité , on les ramène  a un seul carré " .

Pour bien comprendre ce premier cas , On pose X la racine et X² donc le carré :
Les carrés sont :a.X²
Les racines sont :b.X
Et donc les carrés égaux aux racines veut dire : a.X² = b.X .( équation 1)
Al-khawarizmi a traité les trois exemples dans son texte , avec le représentation actuelle :
1- X² = 5 X  ⇒ X = 5 ⇒ X² = 25.
2-1/3 X² = 4 X   ⇒ X² = 12 X ⇒ X = 12 ⇒ X² = 144.
3- 5 X² = 10 X ⇒ X² = 2 X ⇒ X = 2 ⇒ X² = 4 .

En général l'algorithme de Al-khawarizmi pour ce genre d'équations est : a.X² = b.X  ⇒ X² = b/a X
⇒ X = (b/a) ⇒ X² = (b/a)².
Remarque : le nombre zéro n'est pas considérer comme solutions des équations .

B-les carrés égaux à un nombre :" c'est par exemple lorsque tu dis : un carré égale à neuf , c'est le carré et sa racine est trois , et lorsque  tu dis : cinq carrés sont égaux à quatre vingt , un seul carré est égale à seize , c'est à dire la racine est quatre ..."

En gardant les mêmes notations , on voit que les carrés égaux a un nombre veut dire : a.X² = C.(équation 2)
Les exemples sont :
1- X² = 9  ⇒ X = 3.
2- 5 X² = 80 ⇒ X² = 16 ⇒ X = 4.
En général a.X² = C ⇒  X² = C/a   ⇒ X =  √C/a .

C-les racines égales à un nombre :"c'est par exemple lorsque tu dis : une racine est égale a trois et le carré formée par elle sera neuf , et lorsque tu dis quatre racines sont égales à vingt ; une seul racine est donc égale à cinq et le carré formée d'elle est vingt cinq ..."

Avec les mêmes notation , les racines égales à un nombre veut dire :  b.X = C. (équation 3 )
Les exemples donnés sont :
1-X = 3 ⇒ X² = 9 .
2-4 X = 20 ⇒ X = 5 ⇒  X² = 25 .
En général :  b.X = C ⇒ X = C/b ⇒ X = (C/b)² .

Al-khawarizmi va ensuite combiner ces trois équations  en cherchant des équations plus compliquées et plus importantes , ça sera donc l'objet de la troisième  partie de cette suite .

Écrit à berkane le lundi 22 aout 2016 ."sioudi mohammed "