L'algèbre : théorie des équations (partie 2)

Rappel:

On va appliquer la formule d'Euclide sur  EC (figure 2)  → BC . EC + HB² = HC²
mais BC . EC = Y , donc Y + (b/2)² = (X+b/2)²
Par conséquent  X+b/2 = √((b/2)²+Y)  → X = √((b/2)²+Y) - (b/2), D'ou le résultat .

 > Démonstrations : Algorithme de (a X² + b X=Y) <

Démonstration 2 :

L'idée générale de cette démonstration est : Au lieu de chercher X la racine , On va chercher X² le carré  , 

le texte d'Abu kamil :" Si tu veux que je te montre d’une manière évidente ce que j ’ai dit(autre démonstration)  ...

Quant à la cause du procédé qui te mène au carré, alors nous posons le carré la droite AB, nous lui ajoutons dix racines, qui est la droite BC. Donc la droite AC est trente-neuf. Nous voulons savoir quelle est la grandeur de la droite AB. Construisons sur la droite BC une surface carrée, soit la surface DEBC, qui est cent fois égale à la droite AB multipliée par une des unités qui sont dans la droite AB, car la droite BC est dix racines de <la droite>AB ; mais dix racines d’une chose multipliées par elles mêmes, cela est égal à cent fois une chose. Posons la surface AH égale au carré BE. Donc AH est égale à la droite  AB multipliée par une des unités de la droite AB, cent fois. Donc la droite AM est cent. Achevons la surface AN, donc la surface AN est trois mille neuf cents car la droite AC est trente-neuf et AM est cent. Mais la surface AH est égale à la surface BE, donc la surface DN est trois mille neuf cents, et elle est le produit de NE par EC, car la droite EC est égale à la droite ED. Mais la droite CN est cent, car elle est égale à la droite AM. Nous partageons la droite CN en deux moitiés au <point> L donc la droite CN a été partagée en deux moitiés au point L, et on a ajouté à sa longueur la droite CE ; donc le produit de la droite NE par la droite EC plus la droite CL par elle-même sont égaux à la droite LE par elle-même, comme l’a dit Euclide dans le second livre de son ouvrage. Mais le produit de la droite NE par la droite EC est trois mille neuf cents, et le produit de la droite CL par elle-même est deux mille cinq cents ; nous les additionnons, on a six mille quatre cents, qui est égal au produit de la droite LE par elle-même ; donc le produit de LE par elle-même est six mille quatre cents. La droite LE est donc quatre-vingts ; mais la droite CE est égale à la droite BC, donc la droite LC plus la droite BC est quatre-vingts ; si nous ôtons les deux droites LC et BC, ce qui est quatre-vingts, des deux droites AC et CL, ce qui est quatre-vingt-neuf, il reste la droite AB, qui est le carré ,neuf. Ce qu’il fallait démontrer."

Pour mieux comprendre la démonstration ,On va analyser la figure suivante :

On pose AB = X² et BC = b X. Alors S ( BCED ) = b²X² . C'est à dire AC = X² + bX =Y . 

On pose AM = b² , alors S ( ABHM ) = b² X² . Soit L le milieu CN : on peut appliquer proposition  6 des éléments d'Euclide , NE . EC + CL² = LE² .

Or NE = b² + b X et EC= b X , alors NE . EC = (b² + b X) . (b X)

Donc NE . EC = b² .b X + b²X² = b²( b X +X² ) = b² Y .

Aussi CL² = (b²/2)² .et donc  LE²=NE . EC + CL²=b² Y+(b²/2)² Par suite : LE = √(b² Y+(b²/2)²).

On a AB= (AC + LC) - (CB + LC) = ( AC+LC) - LE  = Y+(b²/2) - √(b² Y+(b²/2)²).                                                   

Finalement AB =Y+(b²/2) - √(b² Y+(b²/2)²) = X² .  D'ou le résultat .

Par conséquent Abu kamil donne un algorithme pour obtenir le carré suivant six étapes :

1- multiplie b par lui même . 2- multiplie le résultat par Y ( b² Y ).  3-multiplie b²/2 par lui même et ajoute le à b² Y .  4- on note r la racine du résultat de l'étape précédente . 5- ajouter b/2 à Y puis soustraire le  r . c'est le carré X² . i-e  X² = Y+(b²/2) - √(b² Y+(b²/2)²)

Exemple 1: X² + 10 X= 39.

D'après  : L'algèbre : le début (partie 3) , On sait que la solution est X=3 et donc X² = 9 .

On va vérifier la formule précédente  X² = Y+(b²/2) - √(b² Y+(b²/2)²) = 39 + 50 - √(10² . 39 +50²)

Alors : X² = 89 -√(6400) = 89-80 = 9 . D'ou X=3 .  Et le résultat est bien vérifié . 

Exemple 2: 2 X² + 10 X = 48 .

D'après  : L'algèbre : le début (partie 3) , On sait que la solution est X=3 et donc X² = 9 .

On ramène les carrés en un seul , alors 2 X² + 10 X = 48 ⇔X² + 5 X = 24

On va vérifier la formule précédente X² = Y+(b²/2) -√(b² Y+(b²/2)²) = 24 + 25/2 -√(25.24+(25/2)²)

Alors : X² =73/2 -55/2 = 18/2 = 9 . D'ou X= 3 . Et le résultat est bien vérifié .

Dans l'article suivant on va aborder les deux autres types d'équations et les démonstrations proposés par Abu kamil , avec des exemples et des explication en traitant tous les cas possibles .

Écrit à berkane  le mardi 6 septembre 2016 . "sioudi mohammed"