Certains procédés dans le livre d' Al-khawarizmi ( al-jabr wa al-muqabala) sont laissées sans démonstration ,plusieurs des proches successeurs d' Al-khawarizmi ont commencé des essais pour développer cette nouvelle discipline(algèbre) en se basant sur les inventions de son fondateur .
Abu kamil est l'un de ces successeurs et qui est le plus contribué à cette tache , il a écrit un livre nommé (al-kamil fi al-jabr wa al muqabala ) , dans lequel il démontre de plusieurs façons les procédés d' Al-khawarizmi , mais aussi il parle de quelque calculs algébriques et applications d'algèbre dans le domaine de géométrie .
> Démonstrations : Algorithme de (a X² + b X=Y) <
ATTENTION :Y N'EST PAS UNE VARIABLE , Y EST UNE CONSTANTE (NOMBRE)
L'algorithme d' Al-khawarizmi pour ce genre d'équations est le suivant :
Si a=1;( sinon en ramène l'équation de sorte que a soit égale à 1)
Pour résoudre X² + b X = C : Algorithme :
1: la moitié de nombres des racines c'est à dire b/2 .( = 5 dans l'exemple )2:la multiplication b/2 * b/2 .( = 25 dans l'exemple)
3:l'addition (b/2)²+C .(= 64 dans l'exemple )
4:la racine du résultat on la note r .( racine de 64 = 8 dans l'exemple )
5:la soustraction: b/2 de r . ( 8-5=3 dans l'exemple ) . Alors X=r-b/2 (=3 dans l'exemple) .
c'est à dire : (b/2)→(b/2)²→(b/2)²+C →√((b/2)²+C) - (b/2) = X. X qui est la racine cherché .
Démonstration 1 : cette démonstration se base sur les éléments d'Euclide.
Abu kamil dit :"« un carré plus dix racines égaux
à trente-neuf »,
Le procédé qui te mène à la racine est : nous
posons le carré une surface carrée ABCD à quoi nous ajoutons les racines qui
sont avec lui et qui sont dix racines ; soit la surface ABFE. Il est clair que
la droite BE est dix en nombre car le côté de la surface ABCD, qui est la
droite AB multipliée par un, est la racine de la surface ABCD ; elle est donc
multipliée par dix et on a dix racines de la surface ABCD. La droite BE est par
conséquent dix ; et la surface FECD est trente-neuf car elle est un carré plus
dix racines ; on l’obtient de la multiplication de la droite EC par la droite CD
; mais la droite CD est égale à la droite CB.
Donc le produit de la droite EC par
la droite CB est trente-neuf. Et la droite EB est dix. Nous partageons la
droite EB en deux moitiés au point H, donc la droite EB a été partagée en deux
moitiés au point H et on a ajouté à sa longueur la droite BC. Donc le produit
de la droite EC par la droite CB et HB par elle-même sont égaux au produit de
la droite HC par elle-même, d’après ce qu’a dit Euclide dans le deuxième livre
de son ouvrage. Mais le produit de la droite EC par la droite CB est trente-neuf, et le produit de la droite HB par elle-même est vingt-cinq.
Donc le produit de la droite HC par elle-même est soixante quatre. La droite HC
est donc huit. Mais la droite HB est cinq. Donc la droite BC qui reste est
trois, ce qui est la racine du carré, et le carré est neuf."
Pour démontrer la solution de X² + b X = Yavec la démonstration d'Abu kamil .
On va analyser les deux figures suivantes :
ATTENTION :Y N'EST PAS UNE VARIABLE , Y EST UNE CONSTANTE (NOMBRE)
Figure 2 : M est le milieu de AB , C est le prolongement de AB .D'après livre 2 des éléments d'Euclide : proposition 6, on a la formule suivante : BC . AC + AM² = MC² .Figure 1 : On voit dans la figure que :
- On pose AB = X , S ( ABCD ) = X² .
- H est le milieu de EB , on pose BE=b .
Alors S ( EFCD ) = X²+bX =Y , mais aussi S ( EFCD ) =EC . CD = EC . BC =Y
On va appliquer la formule d'Euclide sur EC (figure 2) → BC . EC + HB² = HC²
mais BC . EC = Y , donc Y + (b/2)² = (X+b/2)²
Par conséquent X+b/2 = √((b/2)²+Y) → X = √((b/2)²+Y) - (b/2), D'ou le résultat .
Il y'à une autre démonstration pour ce genre d'équations , et ça sera l'objet du deuxième partie de cette suite d'articles concernant la théorie des équations .
Ecrit à berkane le vendredi 2 septembre 2016. " sioudi mohammed "
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