L'algèbre : le début (partie 3)

Rappel:

les carrés égaux aux racines veut dire : a.X² = b.X .( équation 1)

les carrés égaux a un nombre veut dire : a.X² = C.(équation 2)

les racines égales à un nombre veut dire :  b.X = C.(équation 3 )

 > Les équations combinées <

A partir des trois équations précédentes Al-khawarizmi donne des combinaisons  plus compliquées , et plus importantes .Dans son livre d'algèbre Al-khawarizmi dit :"J'ai trouvé que ces trois modes se combinent ,et on aura les trois genres combinés , qui sont : les carrés plus ( addition) les racines sont égaux à un nombre ,des carrés plus un nombre égaux à des racines , des racines plus un nombre égales à des carrés ."

Pour mieux comprendre , et avec les notations précédentes on obtient :

1 - des carrés +des racines = un nombre , c'est à dire  a.X² + b.X = C .( équation 4 )

2 - des carrés +un nombre = des racines , c'est à dire  a.X² + C = b.X.( équation 5 )

3 - des racines +un nombre = des carrés , c'est à dire  b.X + C = a.X² .( équation 6 )

Dans cette partie le premier cas sera traité avec beaucoup de détail , et il faut dire aussi que Al-khawarizmi a traité ces trois cas avec des exemples et des procédés , mais ces procédés ne seront démontrés sérieusement que avec Thabit Ibn Qurrah ultérieurement .

A-les carrés plus des racines = un nombre: "c'est par exemples lorsque tu dis : un carré plus dix racines sont égaux à trente neuf , c'est a dire que si on ajoute à un carré dix racines le tout sera égale a trente neuf . 

procédé : partage en deux moitiés le nombre des racines , il vient donc cinq dans ce problème , que tu multiplie  par lui même on a vingt cinq , tu l'ajoute a trente neuf , an aura soixante quatre , tu prend la racine qui est huit , tu soustrais la moitié de nombre des racine qui est cinq .Il reste trois qui es la racine du carré que tu veux , et le carré donc c'est neuf."

Si on peut clarifier un peu le procédé , on a : X² + b X = C

Algorithme: 1: la moitié de nombres des racines c'est a dire b/2 .( = 5 dans l'exemple )

2:la multiplication b/2 * b/2 .( = 25 dans l'exemple)

3:l'addition (b/2)²+C .(= 64 dans l'exemple )

4:la racine du résultat  on la note r .( racine de 64 = 8 dans l'exemple )

5:la soustraction: b/2 de r . ( 8-5=3 dans l'exemple ) . Alors X=r-b/2 (=3 dans l'exemple) 

Une démonstration très facile , c'est de remarquer que (X+b/2)² = X² + b X + (b/2)² = C +(b/2)² , et donc X+b/2 = √(C +(b/2)²)  ⇒ X = √(C +(b/2)²) - b/2 .

Remarque : Il faut toujours remarquer que Al-khawarizmi ne considère que la racine positive .

Si les carrés sont nombreux dans l'équation , voilà ce que Al-khawarizmi dit : " de même , si on considère , deux carré ou trois ou plus ,ou moins , ramène les on un seul ..."   

voilà l'exemple :2 X² + 10 X = 48; 

2 X² + 10 X = 48  ⇒ X² + 5 X = 24  .

(X+5/2)²= X² + 5 X + 25/4 = 24+25/4 =121/4 .⇒ X+5/2 = √121/4 = 11/2 ⇒ X =11/2 - 5/2 = 3 .

Al-khawarizmi finit cette paragraphe on disant : "procède de même en tout ce qui se présente , des carrés , des racines et du nombre qui leur est égale , tu tomberas juste , si dieu le veut ."  

Il reste encore deux autres types d'équations a traiter dans l'article suivant , avant d'avancer sur le chemin des interprétations géométriques qui ont conduit Al-khawarizmi à ces résultats .

Écrit a berkane le jeudi 25 aout 2016. "sioudi mohammed "