Pour résoudre X² + b X = C : Algorithme :> Les équations combinées(suite) <
1: la moitié de nombres des racines c'est à dire b/2 .( = 5 dans l'exemple )
2:la multiplication b/2 * b/2 .( = 25 dans l'exemple)
3:l'addition (b/2)²+C .(= 64 dans l'exemple )
4:la racine du résultat on la note r .( racine de 64 = 8 dans l'exemple )
5:la soustraction: b/2 de r . ( 8-5=3 dans l'exemple ) . Alors X=r-b/2 (=3 dans l'exemple) .
B-les racines plus un nombre = des carrés :"c'est par exemple lorsque tu dis : trois racines et quatre en nombre égaux à un carré .
procédé : partage le nombre des racines en deux moitiés ,on a un plus un demi ; multiplie le par lui même , on a deux plus un quart ; ajout le à quatre , donc on six plus un quart ; prend sa racine qui est deux plus un demi , ajoute la à la moitié du nombre de racines , qui est un plus un demi , on a quatre , qui est la racine du carré , et le carré est seize ."
Si on peut clarifier un peu le procédé , on a : b X + C = X²
Algorithme:
1: la moitié de nombres des racines c'est à dire b/2 .( = 3/2 dans l'exemple )
2:la multiplication b/2 * b/2 .( = 9/4 dans l'exemple)
3:l'addition (b/2)²+C .(= 25/4 dans l'exemple )
4:la racine du résultat on la note r .( racine de 25/4 = 5/2 dans l'exemple )
5:l'addition r+b/2 .( = 5/2 +3/2 =4 dans l'exemple ) . Alors X=r+b/2 (=4 dans l'exemple)
Une démonstration très facile est de remarquer que : (X-b/2)² = X²-b X +(b/2)² =C+(b/2)²
Alors X-b/2 = = √(C +(b/2)²) ⇒ X = √(C +(b/2)²) + b/2 .
Remarque :1- Il faut toujours remarquer que Al-khawarizmi ne considère que la racine positive .
2- de même pour le premier cas si les carrés sont nombreux , il suffit de les ramener en un seul .
C-les carrés plus un nombre =des racines : "c'est par exemple lorsque tu dis :un carré et vingt et un sont égaux a dix racines , c'est à dire si tu ajoutes à un carré quelconque à vingt et un , ce que tu obtient sera égale à dix racines .
procédé :partage le nombre des racines en deux moitiés ,on aura cinq ,multiplie le par lui même,on aura vingt cinq ,dont tu retranche vingt et un , ce qu'on a dit être avec le carré , il reste quatre ,prend sa racine qui est deux ,retranche la de la moitié de nombre des racines , on aura trois ,qui est la racine de carré que tu veux , et le carré est neuf .
si tu veux ajoute la racine a la moitié de nombre des racines , on aura sept qui est la racine du carré cherché , et le carré est quarante neuf .
si tu rencontre un problème , qui te mène à cette sorte , vérifier son exactitude , soit en ajoutant , sinon en retranchant nécessairement ..."
Si on peut clarifier un peu le procédé , on a : X² + C = b X Pour l'exemple donné ici X² + 21 = 10 X , il y a deux façons :
1-(X-5)² = X² - 10X +25 = X² - ( X² +21) +25 = 4 ⇒ X -5 = 2
⇒ X = 7 .
2-(5-X)² = 25 - 10 X +X² =25-(X²+21) +X² = 4 ⇒ 5- X = 2
⇒ X = 3 .
Alors il y a deux solutions positives , Al-khawarizmi les calcule toutes les deux , ensuite il discute le cas général de cette situation en donnant d'autres exemples .
En général , on a (X-b/2)² = (b/2)² -C ,
Si (b/2)² > C : il y a deux solutions positives de l'équation . X=b/2 + ou - √((b/2)² - C).
Si (b/2)²= C : il y a une solution X= b/2 .
Si (b/2)²<C : le problème est impossible .
Remarque :
Se sont les six modes d'équations que Al-khawarizmi les a mentionnées , la donné de ces procédés n'est pas au hasard , Al-khawarizmi va par suite déterminer comment a pu trouver ces procédés , et c'est ça l'intérêt de l'article suivant .
1: la moitié de nombres des racines c'est à dire b/2 .( = 3/2 dans l'exemple )
2:la multiplication b/2 * b/2 .( = 9/4 dans l'exemple)
3:l'addition (b/2)²+C .(= 25/4 dans l'exemple )
4:la racine du résultat on la note r .( racine de 25/4 = 5/2 dans l'exemple )
5:l'addition r+b/2 .( = 5/2 +3/2 =4 dans l'exemple ) . Alors X=r+b/2 (=4 dans l'exemple)
Une démonstration très facile est de remarquer que : (X-b/2)² = X²-b X +(b/2)² =C+(b/2)²
Alors X-b/2 = = √(C +(b/2)²) ⇒ X = √(C +(b/2)²) + b/2 .
Remarque :1- Il faut toujours remarquer que Al-khawarizmi ne considère que la racine positive .
2- de même pour le premier cas si les carrés sont nombreux , il suffit de les ramener en un seul .
C-les carrés plus un nombre =des racines : "c'est par exemple lorsque tu dis :un carré et vingt et un sont égaux a dix racines , c'est à dire si tu ajoutes à un carré quelconque à vingt et un , ce que tu obtient sera égale à dix racines .
procédé :partage le nombre des racines en deux moitiés ,on aura cinq ,multiplie le par lui même,on aura vingt cinq ,dont tu retranche vingt et un , ce qu'on a dit être avec le carré , il reste quatre ,prend sa racine qui est deux ,retranche la de la moitié de nombre des racines , on aura trois ,qui est la racine de carré que tu veux , et le carré est neuf .
si tu veux ajoute la racine a la moitié de nombre des racines , on aura sept qui est la racine du carré cherché , et le carré est quarante neuf .
si tu rencontre un problème , qui te mène à cette sorte , vérifier son exactitude , soit en ajoutant , sinon en retranchant nécessairement ..."
Si on peut clarifier un peu le procédé , on a : X² + C = b X Pour l'exemple donné ici X² + 21 = 10 X , il y a deux façons :
1-(X-5)² = X² - 10X +25 = X² - ( X² +21) +25 = 4 ⇒ X -5 = 2
⇒ X = 7 .
2-(5-X)² = 25 - 10 X +X² =25-(X²+21) +X² = 4 ⇒ 5- X = 2
⇒ X = 3 .
Alors il y a deux solutions positives , Al-khawarizmi les calcule toutes les deux , ensuite il discute le cas général de cette situation en donnant d'autres exemples .
En général , on a (X-b/2)² = (b/2)² -C ,
Si (b/2)² > C : il y a deux solutions positives de l'équation . X=b/2 + ou - √((b/2)² - C).
Si (b/2)²= C : il y a une solution X= b/2 .
Si (b/2)²<C : le problème est impossible .
Remarque :
Se sont les six modes d'équations que Al-khawarizmi les a mentionnées , la donné de ces procédés n'est pas au hasard , Al-khawarizmi va par suite déterminer comment a pu trouver ces procédés , et c'est ça l'intérêt de l'article suivant .
Écrit à berkane le samedi 27 aout 2016 . " sioudi mohammed"
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