L'algèbre : théorie des équations (partie 3)

Rappel :

Exemple : 2 X² + 10 X = 48 .
On sait que la solution est X=3 et donc X² = 9 .
On ramène les carrés en un seul , alors 2 X² + 10 X = 48 ⇔X² + 5 X = 24
On va vérifier la formule précédente X² = Y+(b²/2) -√(b² Y+(b²/2)²)  =24 + 25/2 -√(25.24+(25/2)²)Alors : X² =73/2 -55/2 = 18/2 = 9 . D'ou X= 3 . Et le résultat est bien vérifié .

 > Démonstrations : Algorithme de (a X² + Y=b X) <
Pour rechercher les solutions de cette équation , Abu kamil discute trois cas distincts :

Si Y<(b/2)² ; le problème admet deux solutions  

Si Y>(b/2)² ; le problème est impossible

Si Y=(b/2)² ; X= b/2

Mais avant de commencer ce travail , nous allons poser une question très importante  ,d'ou vient cette distinction de cas ? .

Pour simplifier on va prendre a=1, ( sinon on ramène l'équation de tel sorte que a soit égale à 1 )  .

Alors X² + Y = b X ⇔ X²- b X + Y = 0 ⇔ (X-b/2)² + Y -(b/2)² = 0 ,on a toujours (X-b/2)² >= 0 .

Donc si Y > (b/2)²  on aura Y - (b/2)² >0 et donc on aura obligatoirement (X-b/2)² + Y -(b/2)² >0 , et ce n'est pas le cas , donc si Y > (b/2)² le problème est impossible . 

Si Y<(b/2)²  on aura Y - (b/2)²<0 , par conséquent  (X-b/2)² + Y -(b/2)² peut être nulle , et donc l'équations admet des solutions (on va le prouver ).

Si  Y=(b/2)² on aura  Y -(b/2)²=0 , par conséquent (X-b/2)² = 0 , d'ou X = b/2.

Abu kamil dit : "Quant à la cause de « un carré plus vingt et un dirhams sont égaux à dix racines », le procédé qui te mène à la racine est : il se peut que le carré plus grand que les dirhams qui sont avec lui, ou plus petit qu'eux.  Et le carré ne sera pas égal aux dirhams qui sont avec lui, sauf si le produit
de la moitié des racines par elle-même est égal aux dirhams qui sont avec le carré. C’est alors que le carré sera égal aux dirhams qui sont avec lui. Nous allons montrer tout cela et l’expliquer, si Dieu le veut. "

1- Premier cas : Y>X²
"Posons les dirhams qui sont avec le carré, c’est-à-dire vingt et un dirhams, d’abord plus grands que le carré. Et posons le carré une surface carrée ABDC. Ajoutons à celui-ci le vingt et un qui est avec lui, soit la surface ABEL. Donc la surface ABEL est plus grande que la surface ABCD, car nous l’avons posée ainsi. Donc la droite BL est plus grande que la droite BD ; mais la surface ED est dix racines de la surface ABCD, donc la droite DL est dix. Mais la surface EB est le produit de LB par B A, et B A est égale à BD, donc le produit de LB par BD est la surface EB. Mais la surface EB est vingt et un, donc le produit de LB par BD est vingt et un. Partageons alors la droite LD en deux moitiés au point H. La droite LD a donc été partagée en deux moitiés au point H et en deux parties différentes au <point> B, donc le produit de LB par BD plus HB par elle-même est égal à HD par elle-même, d’après ce qu’a dit Euclide dans le livre deux de son ouvrage. Mais la droite HD par elle-même est vingt-cinq, car la droite HD est cinq, et la droite LB par BD c’est vingt et un ; il reste la droite HB par elle-même, quatre ; la droite HB est donc racine de quatre, ce qui est deux.
Pour bien comprendre le texte , on va utiliser une figure et quelques explications :
- On pose AB =X , alors S (ABCD) = X² .
- On pose Y = S ( ABLE ) .
Alors S (ABCD) + S ( ABLE ) = X² + Y = b X. Et on voit bien que DL = b.

- On pose H le milieu LD , et on applique donc la proposition 6 des éléments d'Euclide:

LB .BD + HB² = HD²

On a LB .BD  =S ( ABLE ) =Y .

Alors on a :LB .BD + HB² = HD² =Y +HB²= (b/2)².

C'est à dire que  HB= √((b/2)²-Y).Mais HB n'est rien d'autre que b/2-X .

Alors  b/2-X= √((b/2)²-Y) ⇔ X =b/2 -√((b/2)²-Y) .

Remarque : Dans ce cas on peut facilement voir que Y>X² ⇒Y<(b/2)² .

2- deuxième cas : Y<X² 

"Posons ensuite les dirhams qui sont avec le carré et qui sont vingt et un dirhams, plus petits que le carré. Posons le carré une surface carrée, soit la surface ABCD et ajoutons-lui le vingt et un qui est avec lui, soit la surface ABEF. Donc la surface AD est plus grande que la surface AF, car nous

l’avons posée ainsi, la droite DB est plus longue que la droite BF et la surface ED est dix racines de la surface AD ; donc la droite DF est dix et le produit de la droite FB par la droite BD est vingt et un. Partageons la droite FD en deux moitiés au <point> H ; la droite FD a donc été partagée en deux moitiés au point H et en deux parties différentes au point B. Donc le produit de FB par BD plus BH par elle-même est égal à HD par elle-même, d’après ce qu’a dit Euclide dans le deuxième livre de son ouvrage. Mais le produit de HD par elle-même est vingt-cinq et le produit de DB par BF

est vingt et un ; il reste le produit de BH par elle-même quatre, la droite p l e BH est donc la racine de quatre, c’est-à-dire deux. Nous l’ajoutons à la droite HD, qui est cinq ; on a donc la droite BD sept, ce qui est la racine du carré, et le carré est quarante neuf. On a donc montré que, si nous posons le carré plus petit que les dirhams qui sont avec lui, alors le problème est résolu par différence, et si nous le posons plus grand que les dirhams qui sont avec lui, il est résolu par somme.  "

-On pose AB =X , alors S (ABCD) = X² .ABCD est un carré .
-On pose Y = S ( ABEF ) .
Donc S(DCEF) = X²+Y = bX ; ainsi DF= b.

Y = AB . BF = BD .BF.
On pose H le milieu de FD alors on peut appliquer la proposition 6 des éléments d'Euclide :

FB.BD + BH² = HD² 

Donc Y+ HB² = (b/2)² ⇒ HB = X -b/2 = √((b/2)² - Y) ⇒ X= √((b/2)² - Y)+ b/2.

Remarque : Dans ce cas on peut facilement voir que Y<X² ⇒Y<(b/2)² .

CONCLUSION :

 Les deux cas Y>X² et Y<X²  se ramène à une seul cas Y<(b/2)² .Il y a donc deux solutions :

1-X =b/2 -√((b/2)²-Y) 

2-X =b/2+√((b/2)²-Y)

Et l'algorithme sera donc comme suit : 

1- calculer b/2 et multiplier par lui même ; 2- soustraire Y i-e  ((b/2)² - Y ) ; 3- calculer

 r = √((b/2)² - Y) , 4- il y a deux solutions : x1 = b/2 -r et x2= b/2 +r .

Le cas qui reste peut être traiter de la même manière .

Écrit à berkane le mercredi 14 septembre 2016 ." sioudi mohammed "